2017-11-27 09:39 来源: 台湾英文新闻

「琴弦的振动显示了几何学，而天体的运行展现出音乐」……毕达哥拉斯 (西元前570–西元前495 )

近代的天文学需要深厚的数学及物理基础。然而，在二千多年前的希腊，天文的研究仅使用简单的几何和三角学。主要原因是当时的天文仅限於描述、记录天体运行的轨迹，况且，当时物理知识太少，因此也没有施展的空间。本文的重点：即使只使用简单的数学(相当於现代的国中数学)，希腊的天文学家竟然可以推算出和今天极接近的「地球半径」及「地球到月球的距离」!

【希腊人认知地球是完美的球体】

早在西元前500年，毕达哥拉斯就认为地球是完美的球体，到底他的论点是基於观察结果或是他的神秘美学观点就不得而知，或许两者皆是。然而，毕氏认为真理一定呈现出完美，简洁的特性，因此，地球和人类观测得到的天体都应该是完美的球体！不要小看毕氏这种「从混沌中寻找真理Order out of Chaos」的哲学态度。事实上此信念一直主导西方的科学发展迄今，从啓蒙时期的牛顿到20世纪的爱因斯坦都是如此。有趣的是，一向强调实用的中国文明，一直到17世纪还认为地球是平的。

【埃拉托斯特尼推论地球周长】

早在西元前500年，希腊人就已经认知地球是球体，如天上的星星一般都应该是球体。当然他们不能像近代太空人阿姆斯壮离开地球回看到地球真是球体，只是假设并且相信地球是球体，而以後的天文学家、物理学家也以此为基础来进行运算，屡屡吻合且正确。所以在西方文明一直相信地球是个球体，否则如果地球是平的，哥伦布岂不是航海到尽头就掉出去了？或者是永远回不到出发点？

正因为希腊人认知地球是球体，因此会对地球的周长与半径有兴趣，希腊天文学家埃拉托斯特尼Eratosthenes在不离开埃及的情况下计算了地球的周长。他假设太阳光是平行光，并在不同纬度之下的同一时间，有的地方太阳是在正上方，有的地方是略有角度。利用垂直杆和影子的直角三角形的比例图，得到角度大约是7°(或是圆圈的1/50)，并将地球视为球形，他认为地球的周长是两地的距离的五十倍，见图1、2。角度7°对应AB弧长，就能推导出角度360°对应的地球圆周长。有了周长後就可以推出半径。这个方法推出的地球周长相当於四万公里，和我们现在所测得的数字40,075.017公里相差一百公里以内。此方法仅仅利用到国中数学。

图1

图2

【喜帕恰斯Hipparchus 推算地球半径】

在希腊时期已经有狭义三角函数的概念，狭义的意思是仅局限於直角三角形，并将这些关系列成表格，利用表格来查不同角度的比例。在此我们说明希腊天文学家喜帕恰斯的方法，利用基本相似三角形定理，来推算地球半径。

基本几何学的「相似三角形定理」，如图3所示：

图3

相似三角形：与大小无关，每一对应边的比例都是相等、每一个对应角度相等。保持直角∠C在右下、左上的斜边c长度固定，而左下角度∠B越大，会使得高度b越大，也就是角度∠B越大，边长b就越大，见图4。

图4

因此可以做出一个比例表，就是後来的正弦三角函数 (sin函数)，但在那时只有到90度(狭义三角函数)。

∠B 15° 30° 45° 60° 75° 87.67°

b/c 0.2588 0.5 0.7071 0.8660 0.9659 0.99924

三角函数表在古代天文测量，发挥极大的价值。以喜帕恰斯的重要发现为例，可以算出地球半径，及算出地球到月亮的距离。

喜帕恰斯计算地球半径的过程概述如下：我们爬上一座3英里高的山，向地平线望去，测量视线和地面垂直线之间的夹角，见图5中的∠CAB，测得这角近似於87.67°

图5：计算地球半径R示意图

由图5可知要利用三角函数的正弦函数就能计算出Ｒ(地球半径)，正弦函数是「对边/斜边」，利用查表sin(87.67°)=0.99924，及sin(87.67°)=，可得到

喜帕恰斯计算出地球半径3944.37英里。与现代科技，测量到的地球半径 3961.3英里(6371公里)，只差17英里，误差不到0.4%！2200年前的喜帕恰斯运用三角及基本几何学，就得到如此惊人的结果，简直是「酷」！此方法仅利用到高中数学。

【历年来观察地球半径的纪录】

　

赤道半径 极地半径

　 Equatorial radius (km) Polar radius (km)

Maupertuis (1738) 6,397.300 6,363.806

Everest (1830) 6,377.276 6,356.075

Airy (1830) 6,377.563 6,356.257

Bessel (1841) 6,377.397 6,356.079

Clarke (1866) 6,378.206 6,356.584

Clarke (1878) 6,378.190 6,356.456

Clarke (1880) 6,378.249 6,356.515

Helmert (1906) 6,378.200 6,356.818

Hayford (1910) 6,378.388 6,356.912

International (1924) 6,378.388 6,356.912

NAD 27 (1927) 6,378.206 6,356.584

Krassovsky (1940) 6,378.245 6,356.863

WGS66 (1966) 6,378.145 6,356.760

Australian National (1966) 6,378.160 6,356.775

New International (1967) 6,378.158 6,356.772

GRS-67 (1967) 6,378.160 6,356.775

South American (1969) 6,378.160 6,356.775

WGS-72 (1972) 6,378.135 6,356.751

GRS-80 (1979) 6,378.137 6,356.752

NAD 83 6,378.137 6,356.752

WGS-84 (1984) 6,378.137 6,356.752

IERS (1989) 6,378.136 6,356.751

IERS (2003) 6,378.137 6,356.752

可以发现赤道半径与极地半径(地心到南极或北极的球半径)自18世纪就修正不到1公里，代表原本的方法就相当精准，并且可知赤道半径与极地半径不同，可以认知到地球是一个比较扁的球体。
【喜帕恰斯Hipparchus 推算地球到月球的距离】

要如何计算地球到月球的距离？由上一个问题得到地球半径是3944.37英里，而∠A是C点的纬度，从经纬系统得知∠A约等於89.05°。并假设：

1. 从地球中心到月球中心为图中的A点到B点

2. 由月球中心B作一条至地球表面的切线

3. 切点为C，如图所示。

图6：计算地球到月球距离示意图

由图6可知要利用三角函数的余弦函数就能计算出A点到B点的长度，余弦函数是「邻边/斜边」，利用查表cos(89.05 °)=0.01658，及cos(89.05°)=，可得到

喜帕恰斯计算出地球到月球距离238000英里。与现代高科技测量到的平均距离240000英里(384000公里)。相比较之下，误差不到0.8%！所以说三角函数的确可靠。相似形是三角函数的基础，三角函数是测量的基础，三角函数能完成很多事情。

【本篇希腊天文学家介绍】

● 埃拉托斯特尼

埃拉托斯特尼是西元前276年至西元前194年的希腊数学家、地理学家、历史学家、诗人、天文学家，见图7。埃拉托斯特尼的贡献主要是设计出经纬度系统，第一个计算出地球的直径与周长。

同时他也是阿基米德的好友。他的贡献有

1. 约西元前255年，发明浑天仪，测量天体的仪器，一直用到17世纪。

2. 约西元前240年，他计算出地球的直径。

3. 约西元前200年，他创造「地理学」（geography）一词来表示研究地球的学问。

4. 提出质数筛选方法：埃拉托斯特尼筛法。

● 喜帕恰斯

喜帕恰斯是约西元前190年至西元前120年的古希腊天文学家，见图8，传说中视力非常好，是第一个发现巨蟹座的M44蜂巢星团，除此之外还有以下的贡献：

1. 星星的亮度－「视星等Apparent Magnitude」，由他第一个制定，将星星分成6个等级。而到现在发现更多的星星，喜帕恰斯所做 的星等已经无法涵盖全部，所以增加「负星等」，来涵盖当时没看到的星星。

2. 发现「 岁差 」现象，地球自转角度偏移现象，後来因牛顿才得以证实。

3. 发现一年有365.25天多，与现在测量只差14分钟。月亮的周期29.53059天，与现在差不多。

4. 喜帕恰斯也被认为是三角学的创始者

为了纪念喜帕恰斯，欧洲太空总署发射的一颗天体测量卫星就命名喜帕谷卫星（High Precision Parallax Collecting Satellite，缩写为Hipparcos），全称为「喜帕谷视差测量卫星」。喜帕谷卫星於1989年8月8日由亚利安4号火箭运载升空，1993年除役。

【结论】

1985至1992年间，有一个相当受欢迎的电视影集「马盖先(MacGyver) 」。

其中主角马盖先是一位聪慧、乐观且极有创造力的探员。他尽可能使用非暴力手段对付暴力，坚持不使用枪。具有科学精神的马盖先，经常利用身边随手可得的简单物品(如胶带、瑞士刀) 快速组合成精巧的小工具，当场解决面临的复杂问题。

马盖先的故事对我的启示很大，它使我领悟到：所谓创造力就是抛弃已有的思考模式，从新的角度来解决问题。同样地，即使只使用简单的数学(相当於现代的国高中数学)，希腊的天文学家竟然可以推算出和今天极接近的「地球半径」及「地球到月球的距离」!

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现今的台湾的教育方法仍停留在博学强记，似乎不了解网际网路时代的竞争力，来自创新思维而非博学多闻!(再博学也比不过Google search)。这些希腊天文学家给我们的启示就是：如何化繁为简，如何充分发挥想像力！为何国中数学不采用上述的实例教学，以启发学生的想像力，反而编出一些无聊的计算题，来破坏学生的兴趣！