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現在，我們介紹張恭慶的錯誤，張恭慶是北京大學的數學院士。

循環論證是一種邏輯錯誤，是指：1，論據的正確依賴論題的支撐。2，兩個論據的正確性互相依賴。

什麼是數學定理？
1，數學定理必須是一個明確的判斷。

2，數學定理必須是一個全稱（一切，所有的，任何，每一個）判斷。

3，數學定理是一個已經經過正確的演繹法證明的數學命題（不能使用歸納法和類比法證明，演繹法-三段論有256個格式，只有19個格式有效）。

4，數學定理結構（或者說命題結構）由主項與謂項組成。

5，主項與謂項必須是全異關係（不能是種屬關係，例如「龐加萊猜想「就是一個錯誤的命題，主項與謂項是種屬關係；「素數有無窮多個」就是一個正確的命題，因為主項」素數「，與謂項」無窮多個「是全異關係）。

6，主項和謂項的含義必須明確表示和界定，不能有「假設」「估計」。

7，數學定理必須符合語法（例如陶哲軒的」存在任意長的素數算術數列「，主項與謂項都是錯誤的，主項」素數算術數列」是一個集合概念。謂項「任意長「違反語法：肯定判斷謂項不能周延）。

8，用公式表達的定理，每一個符號必須是明確的概念和含義，不能有歧義（例如張益唐的公式）。

9，主項必須是普遍概念或者單獨概念，不能是集合概念。

10，數學定理的主項必須經過正確的」種加屬差「的方法定義。例如，」素數就是大於1並且只能被1和自身整除的自然數「。

11，一個定理陳述一個給定類所有的元素不變的性質和關係，適用於所有的元素，在任何時候無區別的成立。

什麼是數學命題證明
1，證明就是理清概念與概念之間的關係，得出確鑿無疑的結論--新概念。

2，證明就是理清判斷與判斷之間的關係，得出新的判斷。

3，證明就是利用公理-定理把命題說的明白。命題就是帶有判斷功能的語句，概念的本質是事物的差異，就是不同事物的否定（概念無限否定性，例如梨子不是饅頭，不是包子，不是雞蛋，....。），多個概念在連接詞的作用下形成判斷語句。模糊的和錯誤的句子無法判斷。

4，因為數學是研究數量-空間結構-數量和空間結構的變化，我們面對的情況是複雜的和變化的，常常需要從一個時空到另外一個時空，從一個命題推出另外一個命題，從一個判斷中得到另外一個判斷。證明就是在轉換命題-時空-判斷時不會出現錯誤。

5， 我們從已知命題推斷出未知命題的行為叫推理，已知命題叫前提，未知命題叫結論。我們證明一個結論的系統化行為，叫做論證。

邏輯就是確保這些推理和論證能夠有效的規則。邏輯學就是研究這些有效推論和論證規則與標準的學科。

下面這一頁說：定理1.1，設....，又設.....存在適合，如果還有適合.....。
（批判：既然是定理，不能存在預期理由的多重假設）



下面一頁：引理3.1，假設...成立，又設....，其中K,G滿足假設（3個條件）則.....。最後有「由歸納遞推得」
（批判：引理作為論據，必須是明確無誤的。而張恭慶假設成立，再設滿足3個假設條件，最後還是由歸納所得，足夠荒唐。）

歸納假設證明和先驗估計命題，假設：
（1）沒有進入因果關係；
（2）沒有進入構成關係；
（3）無法被感知。
（4）估計和假設進入證據以後，如果從區分兩類否定真理的角度來檢視這一問題：第一類涉及虛構或者主觀創造的一些對象；第二類涉及實際存在的對象。而假設的虛構的對象並不具有事務的全部屬性。

（5）假設最後必須被證明才能進入證據鏈。



下面一頁：引理4.2設....滿足.....。又設......。此外設滿足ps條件。定理4.1，在引理4.2的假設下，又設J在....。
（批判：引理作為一種論據，是在多重假設下的觀點，不能成為論據）